Modellierung 1

Und das ist die Grundlange der ganzen New Economy?!

Kapitel 5:

Eigenwerte und Singulärwerte.

Video: Eigenwerte und Singulärwerte (12min)
groß (3360x1080 mit Folien), mittel (1920x1080), klein(853x480), Folien (PDF)
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Nachbereitung:

Schauen Sie sich nochmal genau die Definition von Eigenwerten und Eigenvektoren an.
Wie löse ich ein lineares Gleichungssystem \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\), wenn ich die Singulärwertzerlegung \(\mathbf{A}=\mathbf{U}\mathbf{D}\mathbf{V}^T\) kenne?
Die Matrix \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{2\times 2}\) sei nun symmetrisch. Wie löse ich das Matrixgleichungssystem \(\mathbf{A}^2-3\mathbf{A} + 2\mathbf{I} = \mathbf{0}\)?
Tipp: \(x^2-3x+2 = (x-2)(x-1)\).

Der approximative Fall: Manche Dimensionen (Unterräume) lohnen sich nicht.

Video: Inverse Probleme (21min)
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Nachbereitung:

Nehmen wir an, das lineare Gleichungssystem \(\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}\) mit einer symmetrischen und positiv-definiten (alle Eigenwerte > 0) Matrix \(\mathbf{A}\) ist ein schlecht gestelltes Problem im Sinne der Vorlesung. Zeigen Sie, dass das Problem nicht mehr schlecht gestellt ist, wenn man \(\mathbf{A}\) durch \(\mathbf{A} +\epsilon \mathbf{I}\) für ein hinreichend großes \(\epsilon > 0\) ersetzt (die Lösung verändert sich dabei natürlich auch). Dies ist eine einfache Regularisierungstechnik für LGS aller Art. (Ein Trick nötig – Tipp: Eigenwertzerlegung)
Warum ist der Ableitungsoperator \(d/dx\), der einer Funktion ihre Ableitung zuordnet, also \(f \mapsto f'\), (anschaulich) schlecht gestellt (ill-posed)?
Wie ist die Situation bei der Integration, also \(f \mapsto F(x) := \int_0^x f(t) dt\) für (integrable) Funktionen \(f: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}\)?

Nicht-lineare lineare Algebra. Trotzdem nützlich.

Video: Quadratische Formen (28min)
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Nachbereitung:

Was ist der Unterschied zwischen (reine Begriffsklärung, Definitionen nochmal zusammentrage und vergleichen):
- Quadratischen Formen
- Quadriken
- Quadratischen Polynomen (multi-variaten Polynomen mit totalem Grad 2)
Wie schreibe ich ein allgemeines multi-variates quadratisches Polynom in Matrix-Vektor-Notation (gemeint sind die mit totalem Grad 2, alles andere interessiert uns in dieser Vorlesung nicht)?
Warum können wir ohne Einschränkungen annehmen, dass die Matrizen einer quadratischen Form immer symmetrisch sind?
Warum ist das toll? Will sagen: Was sagt uns das über die Struktur der quadratischen Polynome?

Gesamtlaufzeit Videos: 61min

Übungsaufgaben: Das fünfte Übungsblatt finden Sie hier: Modellierung-WS-22-23-Blatt-5.pdf. Die zu Aufgabe 3 gehörende Python Datei finden sie hier: Modellierung-WS-22-23-Blatt-5.zip Datei wird Freitags bereitgestellt.)

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