Institut für Informatik
Alternative Bildrekonstruktion
Übungsblatt 10
Letzte Änderung: 05. November 2021, 16:07 UhrBearbeitung bis: Freitag, der 28.1.2022, 15 Uhr
Aufgabe 1 - Analyse der Bildrekonstruktion
Wir betrachten nochmals das Optimierungsproblem der Bildrekonstruktionsaufgabe vom Übungsblatt 8.
Zur Erinnerung:
Damit das folgende Funktional der Bildrekonstruktion ein lokales Extremum annehmen kann: \[ ∫_\Omega ||∇_x𝑓(x)||^2𝑑x \rightarrow \min, \] muss notwendigerweise erfüllt sein, dass \[ Δ_x𝑓(x)=0. \] Die partielle Differentialgleichung in der zweiten Zeile ist eine notwendige Bedingung für die Minimierung des quadratischen Funktionals in der ersten Zeile.
Damit das folgende Funktional der Bildrekonstruktion ein lokales Extremum annehmen kann: \[ ∫_\Omega ||∇_x𝑓(x)||^2𝑑x \rightarrow \min, \] muss notwendigerweise erfüllt sein, dass \[ Δ_x𝑓(x)=0. \] Die partielle Differentialgleichung in der zweiten Zeile ist eine notwendige Bedingung für die Minimierung des quadratischen Funktionals in der ersten Zeile.
- Erklären Sie, wie Sie die „Rekonstruktionsaufgabe“ \[
\arg \min \int_\Omega ||𝑓(x)−g(x)||^2+||∇xf(x)||^2𝑑x
\] für ein fest gegebenes \(𝑔\) (dies ist das verrauschte Bild, \(𝑓\) ist die geglättete Rekonstruktion) auch einfach dadurch lösen können, dass man \(𝑔\) Fouriertransformiert und dann bestimmte Frequenzen dämpft.
Anders gesagt: durch einen Tiefpassfilter kann man direkt die Lösung bestimmen. - Implementieren Sie nun diese Alternativlösung:
- Laden Sie ein verrauschtes Bild ihrer Wahl ein
- Berechnen Sie die Fouriertransformation dieses Bildes (Sie können dazu die Numpy Funktion numpy.fft.rfft2 verwenden)
- Multiplizieren Sie die FFT des Bildes mit einer zweidimensionalen Gaußglocke (Tiefpassfilter)
- Berechnen Sie die inverse Fouriertransformation (mit numpy.fft.irfft2)