Aufgabe 1 - Bessere Bildrekonstruktion

Nehmen wir an, dass die Gradienten Laplace verteilt sind, also, qualitativ gesagt, gemäß \(\text{exp}(-|x|)\) statt \(\text{exp}(-|x|^2)\).
Dies ist in der Praxis tatsächlich eine gute Approximation (es gibt Studien dazu mit Bilddatenbanken). Wir erhalten dann folgende Zielfunktion:

\[ \begin{equation} \begin{split} E_{nochbesser} (f) & = || f - d ||^2 + \lambda || \nabla f ||\\ & = \int_\Omega ( f(x) - d(x))^2 \,\, dx + \lambda \int_\Omega || \nabla f(x) || \,\, dx\\ & \to \text{min}. \\ \end{split} \end{equation} \]

Die ist, dummerweise, aber nicht mehr quadratisch!
Macht aber nichts, wir können ja mit Iteratively-reweighted-least-squares die Sache hinbiegen:
Große Gradienten werden einfach schwächer gewichtet. Konkret verwenden wir die folgenden Gewichte: \[ w_{i+1} = \frac{1}{|| \nabla f_i(x) || + \epsilon^{'}} \]

wobei wir in die Lösung aus der letzten Iteration \((i)\) für die Gewichte in der nächsten \((i+1)\) verwenden.
Diese Erweiterung ist nicht schwer zu implementieren. Läuft zwar leider deutlich langsamer, liefert aber sehr viel bessere Ergebnisse.

Erweiterungen dazu:
Wenn Sie möchten, können Sie die Lösung noch weiter verbessern: Reformulieren Sie die Methode etwa für RGB Bilder — wie modelliert man am besten die RGB Gradienten für das Reweighting? (Selbstverständlich ist aber diese Erweiterung freiwillig; sie gilt eher als Anregung und Denkanstoß; das Problem perfekt zu Lösen und zu untersuchen ist fast eine ganze Abschlußarbeit)

Aufgabe 2 : Diffusion images

Eine andere Möglichkeit Ihre Lösung zum Übungsblatt 08 oder die Verbesserung von Aufgabe 1 zu verwenden sind diffusion Images!

Aufgabe:
Ändern Sie ihre implementierung so ab, dass Sie die Bilder aus dem „Diffusion Images“ Paper von Orzan et al. damit rekonstruieren (bzw. mit Farbverläufen auffüllen können).
Fügen Sie dazu einfach soft constraints ein; wir schalten also den Datenterm einfach ab, wo keine Farben vorgegeben sind.
Ein Beispielbild aus dem Paper ist oben abgebildet und kann direkt verwendet werden. (Interpretieren Sie die Farbe „grau“ einfach als „keine Daten“).

Hinweis: Sie müssen hierzu wieder einen Sparse-Matrix Ansatz verwenden. Für Dense-Matrizen wird das System viel zu groß (passt vermutlich nicht in den Speicher).