Aufgabe 1 - Fourierreihe

Die Fourierreihe einer periodischen Funktion \(f(t + 2 \pi) = f(t)\) ist gegeben durch: \[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nt) + b_n \sin(nt) \] mit den orthogonalen Basisfunktionen \(\{1, \sin(x), \dots, \sin(nx), \cos(x), \dots, \cos(nx)\}\) und den Fourier-Koeffizienten \(a_k, b_k\): \[ a_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(kt) \,\, dt \\ b_k = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(kt) \,\, dt \]

1. Berechnen Sie die Fourierreihen der \(2\pi\)-periodischen Funktionen
   1. \(f(t) = \begin{cases} 1 \,\,\, \text{falls} \,\, -\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2} \\ 0 \,\,\, \text{sonst} \end{cases}\)
   2. \(g(t) = | t |\)
   Die Funktionen sind dabei im Intervall \([−\pi, \pi]\) definiert und werden \(2\pi\)-periodisch fortgesetzt. Dadurch können Sie die oben gegebenen Rechenregeln unverändert anwenden.
   
   Hinweis 1: Begründen Sie, dass die Koeffizienten \(b_k\) verschwinden.
   Hinweis 2: Machen Sie eine Fallunterscheidung zur Auswertung der Integrale: k gerade bzw. k ungerade.
2. Plotten Sie die Fourierreihen einschließlich der Originalfunktionen bis zur Ordnung \(n=1,5,9\)
   (Nutzen Sie ruhig ein Programm ihrer Wahl: Jupyter, Origin, Gnuplot, Matplotlib, GeoX, ...).
   1. Wie unterscheidet sich die Qualität der Fourierreihen aus Aufgabenteil a) und b)?
   2. Warum gibt es hier Unterschiede / keine Unterschiede?

Aufgabe 2 - Fouriertransformation

Die Fouriertransformation \(\hat{f}(\omega),\omega \in \mathbb{R}\), einer kontinuierlichen Funktion \(f(x)\) ist definiert als \[ \hat{f}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i\omega x} \,\, dx. \] Die Fouriertransformation transformiert somit eine ortsabhängige Funktion \(f(x):\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) in eine frequenzabhängige Funktion \(\hat{f}(\omega):\mathbb{R} \to \mathbb{C}\). Für die imaginäre Einheit \(i\) gilt: \(i^2 = -1\). Funktionen mit Hut "\(\hat{ }\)" bezeichnen im Folgenden immer die Fouriertransformation einer gegebenen Funktion.

1. Berechnen Sie die Fouriertransformation der Gaußkurve \(f(x) = e^{- \frac{x^2}{2a^2}}\).
   Hinweis: Quadratische Ergänzung in der Exponentialfunktion hilft zur Lösung des Integrals.
2. Vergleichen Sie die Standardabweichung \(\sigma_x\) der Gaußkurve \(f(x)\) mit der Standardabweichung \(\sigma_\omega\) der Fouriertransformierten \(\hat{f}(\omega)\).
   Was gilt für das Produkt \(\sigma_x \cdot \sigma_\omega\)?
   Diese Relation spielt in der Signaltheorie eine wichtige Rolle.
3. Berechnen Sie die Fouriertransformation des Rechteckpulses: \[ g(x) = \begin{cases} 1 \,\,\, \text{falls} \,\, -\frac{L}{2} \lt t \lt \frac{L}{2} \\ 0 \,\,\, \text{sonst} \end{cases} \]

Aufgabe 3 - Fouriertransformation

Der Faltungssatz \[ h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)g(t - \tau) \,\, d\tau \Rightarrow \hat{h}(\omega) = \sqrt{2\pi} \hat{f}(\omega)\hat{g}(\omega) \] ist eine sehr hilfreiche Rechenregel in der Signaltheorie.

1. Beweisen Sie den Faltungssatz für die Fouriertransformation (Definition siehe oben).
   Hinweis: Schreiben Sie die Definition von \(\hat{h}(\omega)\) explizit hin und setzen Sie die gegebene Faltung ein. Das resultierende Integral lässt sich elegant umformen, sodass sich die gesuchte Relation ergibt.
2. Nutzen Sie den Faltungssatz um die Fouriertransformation des Dreieckpulses zu bestimmen.
   Hinweis: Berechnen Sie die Faltung eines Rechteckpulses (siehe Aufgabe 2c) mit sich selber.

Aufgabe 4: Die Wärmeleitungsgleichung („Heat Equation“).

Wir nutzen die Funktion \(𝑓:[0,2𝜋]^2×ℝ→ℝ\), um die Temperatur eines Systems zu modellieren.
(Der Funktionswert \(f(x,t)\) ist dabei die Temperatur an Stelle \(x\) zum Zeitpunkt \(t\)).

Für das oben beschriebene Szenario (Eiswürfel und Streichholz im System) setzen wir die Anfangsbedingung folgendermaßen fest: \[ f(x,0)=\text{"initiale Temperaturverteilung (Streichholz + Eiswürfel)"}. \]

Für die weitere Entwicklung der Temperatur im System gilt die partielle Differentialgleichung: \[ \frac{𝜕}{𝜕t}f(x,t)=−𝑘\cdot Δ_x\cdot f(x,t), \] wobei \(𝑘\) die Wärmeleitfähigkeit angibt (je größer desto besser) und \(Δ\) den Laplace-Operator bezeichnet.

Aufgabe: Erklären Sie nun grob/anschaulich, wie man die Lösung dieser Gleichung direkt erhält, indem man im Frequenzraum rechnet (also die Fourierreihendarstellungnach den Ortskoordinaten von \(𝑓\) betrachtet).

Tipp: Die 2D-Fourierbasis \(\{𝑒^{𝑖𝑘𝑥}⋅𝑒^{𝑖𝑚𝑦}~|~𝑘,𝑚∈ℤ\}\) ist eine Eigenbasis des Laplaceoperators, also eine Menge von Eigenfunktionen, aus denen man im Sinne einer Schauderbasis alle 2D-Funktionen \(f(⋅,t)\)(für jeden Zeitpunkt \(𝑡\) einzeln) beliebig gut annähern kann, die uns hier interessieren würden.
Noch ein Tipp: Das 3blue1brown-Video zu dem Thema.