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Aufgabe 0 - Radon-Transformation (Verlängerung)

Vervollständigen Sie Ihre Lösung der Radon-Transformation (Aufgabe 3, Blatt 4). Testen Sie außerdem was mit den Singulärwerten passiert, wenn Sie die Anzahl Drehungen (stark) reduzieren.

Aufgabe 1 - Least-Squares Approximation von Funktionen

In dieser Aufgabe soll die Approximation von kontinuierlichen Funktionen (statt einzelner Datenpunkte) mit Basisfunktionen hergeleitet werden. Die Herleitung ist sehr ähnlich zu der in der Vorlesung gezeigten Herleitung für das Fitten von Kurven an Datenpunkte. Daher ist dies eine gute Übung, um die ganze Herleitung nochmal zu wiederholen (und man lernt doch noch was neues).

Hier ist die Aufgabe: Gegeben sei eine Funktion

\[ \color{red}f:[\color{blue}a,\color{blue}b] \rightarrow \mathbb{R}, \quad \quad \color{red}f \in \mathbb{C}^\infty \]

Auf dem Funktionenraum aller solcher Funktionen sei weiterhin das Standard-Skalarprodukt

\[ \langle \color{red}f, \color{red}g \rangle := \int_{\color{blue}a}^{\color{blue}b} \color{red}f(\color{blue}x) \cdot \color{red}g(\color{blue}x) \,\, dx \]

definiert. Wir möchten nun die kontinuierliche Funktion f aus dem unendlich-dimensionalen Funktionenraum durch eine endlich-dimensionale Approximation

\[ \color{red}{\widetilde{f}} (\color{blue}x) := \sum_{i = 1}^{k} \color{red}\lambda_i \color{darkred}b_i (\color{blue}x) \]

annähern, wobei die \(\color{darkred}b_i: [\color{blue}a, \color{blue}b] \rightarrow \mathbb{R}\) Basisfunktionen dieses \(k\)-dimensionalen Unterraums sind.

a) Zeigen Sie, dass folgendes gilt: Eine least-squares optimale Approximation, also

\[ || \color{red}{\widetilde{f}} - \color{red}{f} ||^2 \rightarrow \text{min} \]

(wobei dies die vom Skalarprodukt induzierte Funktionennorm ist) erfordert, dass für die Koeffizienten die folgende notwendige Bedingung gilt:

\[ \left( \begin{array}{cc} \langle \color{darkred}b_1, \color{darkred}b_1 \rangle & \cdots & \langle \color{darkred}b_1, \color{darkred}b_k \rangle \\ \vdots & \ddots\ & \vdots \\ \langle \color{darkred}b_k, \color{darkred}b_1 \rangle & \cdots & \langle \color{darkred}b_k, \color{darkred}b_k \rangle \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \color{red}{\lambda_1} \\ \vdots \\ \color{red}{\lambda_k} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \langle \color{red}f, \color{darkred}b_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle \color{red}f, \color{darkred}b_k \rangle \\ \end{array} \right) \]

Hinweis: Am besten erstmal selbst versuchen; die Vorlesungsfolien helfen aber im Zweifelsfall.

Aufgabe 2 - Least-Squares Konvertierung (Anwendung)

Gegeben sei eine polynomielle Funktion

\[ \color{red}p_3:[-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad\quad \color{red}p_3(\color{blue}x) = c_3 \color{blue}x^3 + c_2 \color{blue}x^2 + c_1 \color{blue}x + c_0 \]

mit reellen Koeffizienten \(c_0, \dots, c_3 \in \mathbb{R}\) (ein völlig normales 1D Polynom dritten Grades).

a) Finden Sie die bestmögliche Approximation mit einem Polynom zweiten Grades, also einer Funktion

\[ \color{red}p_2:[-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}, \quad\quad \color{red}p_2(\color{blue}x) = d_2 \color{blue}x^2 + d_1 \color{blue}x + d_0 \]

im least-squares Sinne, so dass \(|| \color{red}p_3 - \color{red}p_2 ||^2 \rightarrow \text{min}\), wobei \(|| \color{red}f ||^2 := \langle \color{red}f, \color{red}f \rangle\) die durch das Standard-Skalarprodukt induzierte Funktionsnorm ist. Wie müssen die Koeffizienten \(d_2, \dots, d_0 \in \mathbb{R}\) gewählt werden in Abhängigkeit von \(c_0, \dots, c_3 \in \mathbb{R}\)? Man kann hier eine konstante Matrix bestimmen, welche die Koeffizienten ineinander umrechnet.

b) Die Abbildung vom Raum der Polynome dritten Grades auf die zweiten Grades hat offensichtlich nicht vollen Rank. Was ist der Kern dieser Abbildung (d.h., welcher Anteil der Funktionen geht komplett verloren)?

Erläuterung: Wozu braucht man das? In der Computergraphik benutzt man das, um zwischen Splines verschiedener Ordnung zu konvertieren. Prominentes Beispiel sind die von Apple entwickelten und von Microsoft für Windows später lizensierten "TrueType"-Fonts. Diese werden durch quadratische Kurven (parametrische Kurven \([a,b] \rightarrow \mathbb{R}^2\) dargetellt. Die (schon etwas älteren) Postscript-Fonts, entwickelt von Adobe, benutzen aber (die üblicheren) kubische(n) Kurven. Will man einen PS-Font in TTF konvertieren, dann muss man diese Approximation für alle Teilstücke durchführen (zusätzlich zerlegt man die einzelnen kubischen Stücke in mehrere quadratische, da erstere susdruckstärker sind, und der Fehler sonst zu hoch werden kann).