Aufgabe 0 — Integrationsaufgabe vom letzten Blatt

Wie in der Übung besprochien: Vervollständigen Sie die Lösung der Integration des letzten Blattes (Blatt 2, Aufgabe 2e) um Teilaufgabe 2d und mindestens eine der Teilaufgaben 2ei oder 2eii.
(Pushen Sie dies bitte ins Repository 02_param_modellierung.)

Aufgabe 1 — Monsieur Fourier und seine Basis

Betrachten Sie den Raum der \(2\pi\)-periodischen Funktionen in der Variablen \(x\), also jene \(f\) für die \(f(x) = f(x+2\pi)\) gilt: \[ V = \text{span} \, \{ \, \sin \omega (x + \varphi) \, | \, \varphi \in \mathbb{R} \, \} \] Ihr Definitionsgebiet sei jeweils auf das Interval \([0,2\pi]\) beschränkt, und \(\omega \in \mathbb{N}^{\gt 0}\) ist fest aber beliebig gewählt.
(Geometrischer Hintergrund: Man kann sich auch vorstellen, dass das Definitionsgebiet der Einheitskreis ist.)

Aufgaben:

1. Zeigen Sie, dass die Menge \(\{ \, \sin (\omega x), \cos (\omega x) \, \}\) eine orthogonale Basis von \(V\) ist.
   Hinweis: Am einfachsten ist dies mit der Formel von Euler (komplexe Darstellung von sin() und cos()).
2. Wir untersuchen nun den linearen den Operator \(\frac{\partial^2}{\partial^2_x}\), der zu einer periodischen Funktion Ihre zweite Ableitung bildet.
   Dazu definieren wir zuerst den Vektorraum aller (2-fach differenzierbaren) periodischen Funktionen auf dem Interval \([0, 2\pi]\).
   
   1. Zeigen Sie, dass die folgende Menge orthogonale Eigenfunktionen von \(\frac{\partial^2}{\partial^2_x}\) sind: \[ \{ \, \sin (\omega_1 x), \cos (\omega_2 x) \, | \, \omega_1 = 1,2,3,\ldots , \, \omega_2 = 0,1,2,\ldots \, \} \] (Wir haben diese Menge von periodischen Funktionen bereits in der Vorlesung und im Tutorium als Fourierbasis kennengelernt.)
   2. Was sind die Eigenwerte von \(\frac{\partial^2}{\partial^2_x}\) in Abhängigkeit von \(\omega_1, \omega_2\)?
      Hinweis: Um Rechenarbeit zu sparen genügt es, nur die Sinusfunktionen (und \(\omega_1\)) zu betrachten; ignorieren Sie die Kosinusfunktionen (es stimmt dort jedoch auch, und auch überkreuz mit Sinus; Beweis geht analog - Warum?).
   3. Warum nehmen die \(\omega\) nur ganzzahlige Werte an?
3. Tatsächlich ist \(\frac{\partial^2}{\partial^2_x}\) diagonalisierbar und die Fourierbasis ist eine orthogonale Eigenbasis der Funkionen (mit geeigneten Glattheitseinschränkungen), auf denen der Operator wirkt: Solche Funktionen (z.B. alle glatten \(C^{\infty}\) Funktionen) lassen sich als Linearkombination von Fourierbasisfunktionen beliebig gut approximieren.
   
   Angenommen wir kennen keine Möglichkeit symbolisch zu integrieren.
   Wie könnenten wir die einfache Differentialgleichung der Form \(\frac{\partial^2}{\partial^2_x}\) \(f(x) = g(x)\) mithilfe der oben gewonnen Einsichten lösen?
   
   Transferieren Sie die Idee aus den Vorlesungen zu Lehreinheit 5, lineare Gleichungssysteme per SVD zu lösen auf den Fall von Differentialgleichungen.
   (Hier reicht eine anschauliche Erklärung; keine Beweise.)
4. Und nun betrachten wir den Fall \(\frac{\partial^2}{\partial^2_x}\) \(f(x) = \lambda \cdot f(x)\) für Funktionen, die, abweichend des oben genannten Funktionenraumes \(2a\)-Periodisch (statt \(2\pi\)-periodisch) sind.
   
   1. Welche Menge von Lösungen sind möglich?
   2. Was vermuten Sie passiert, wenn \(a\) unendlich groß wird?

Aufgabe 2 — Ableitungen und Metriken

Wir betrachten eine glatte Abbildung der Form \[f: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^{d'}, d' \ge d,\] die eine parametrische Fläche im \(d'\)-dimensionalen Raum aufspannt.

Die Frage ist nun, wie man Längen und Winkel auf der Fläche messen kann, wenn man kleine Schritte im Parameterberehc macht. Gefragt ist also der Wert des Skalarproduktes \[ \left< f(x_0 + \Delta x) - f(x_0), f(x_0 + \Delta y) - f(x_0) \right> \] für sehr kleine Vektoren \(\Delta x, \Delta y\) (gemeint ist mit „geringer Norm“).

Leiten Sie her, welche Schätzung man für diesen Wert erhält, wenn man die Funktion \(f\) in erster Näherung approximiert (also mit einer Taylorapproximation ersten Grades).

Das Ergebnis (ein modifiziertes Skalarprodukt) ist in der Differentialgleichung als „erste Fundamentalform“ oder metrischer Tensor bekannt und kann dazu dienen, eine Karte von metrischen Verzerrungen im Eingaberaum von \(f\) zu bauen.