Modellierung 1

Kapitel 11:

Variational Modelling

Die Grundlagen aus dem letzten Video reichen oft für den "Hausgebrauch". In diesem Video schauen wir uns noch kurz nicht-lineare Optimierungsmethoden an, "harte" Zwangsbedingungen (Constraints) sowie die "Euler-Lagrange-Gleichung", die einen Zusammenhang zwischen der Variationsrechnung (Wunschliste) und (partiellen) Differentialgleichungen (Gleichung mit klarer Lösungsmenge) herstellt. Wenn man den Teil richtig verstanden hat, merkt man, dass wir das eigentlich die ganze Zeit schon implizit so gemacht haben (und hier gar nichts neues gemacht wird). Theoretisch öffnet das aber viele Türen.

Video: Signaltheorie, Abtastung und Rekonstruktion (70 min)

groß (3360x1080 mit Folien),     mittel (1920x1080),     klein(853x480),     Folien (PDF)

Nachbereitung: Wenn Sie am Ende der Vorlesung noch Energie übrig haben, hier noch ein paar letzte Fragen:

• Malen Sie sich selbst nochmal für ein Beispiel auf, wie genau die Gradienten für die Lagrange-Multiplier aussehen, und wie der Stabilitätspunkt (an dem das Optimum sein könnte) charakterisiert wird.
• Warum ist das hinreichend, wenn alles glatt genug ist?
• Erinnern Sie sich an die Aufgabe zur Bildrekonstruktion. Das ganze ist (für den least-squares/\(\ell_2\) Fall, ohne reweighting/\(\ell_1\)-norm) eigentlich nur ein Tiefpassfilter im Fourierraum. Überlegen Sie sich, warum das so ist, und wie der Filter aussieht, indem Sie die Euler-Lagrange-Gleichung auf die (kontinuierliche) Rekonstruktionszielfunktion anwenden und dann die so erhaltene PDGL in der Fourier-Basis anschauen.

Alles ist PCA

Noch eine letzte, nicht 100% formal ernstgemeinte, aber hoffentlich zum Nachdenken anregende Bemerkung: Wenn man allgemeine Daten, die lokal stärker korreliert sind (also Funktionen, die eher in der Nähe ähnliche Werte annehmen als weiter weg) in eine Hauptachsenanalyse wirft, entsteht meist ein Eigenbasis (Hauptachsen), die genau die Fourierbasis bilden, oder dieser sehr ähnlich sehen. Also ist Fourieranalyse sowas wie ein Spezialfall von PCA. Differentialgleichungen arbeiten mit linearen shift-invarianten Operatoren (Ableitungen sind spezielle lineare shift-invariante Operatoren); die sind auch in der Fourierbasis einfacher zu verstehen (sozusagen die Hauptachsen). Von daher hoffe ich, dass es gerechtfertigt war, am Anfang der Vorlesung anzukündigen, dass wir eigentlich neben elementarer Vektorrechnung nur einen neuen Trick gelernt haben, nämlich die PCA (in all ihren verschiedenen Inkarnationen).

Ich hoffe, die Vorlesung hat Ihnen gefallen!

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