Modellierung 1

Kapitel 9:

Funktionale Gleichungen

In diesem Video gibt es einen kurzen Überblick über Gleichungen, die Funktionen als Lösungen haben (wir nennen die "Funktionale Gleichungen"). Die bekanntesten Vertreter dieser Gattung sind (gewöhnliche und partielle) Differentialgleichungen. Vielleicht etwas weniger häufig (aber durchaus nützlich) sieht man auch Integralgleichungen. Die Grundidee ist, dass man mit passenden arithmetischen Operationen auf Funktionen (als ganzes) arbeitet und damit Bedingungen dafür formuliert, wie die Funktion aussehen soll. Ableitungen und Integrale sind dabei besonders häufig genutzte Operationen, die die mit der Funktion als kontinuierliches Objekt rechnen (und nicht nur mit einzelnen Werten). Im Video gibt es einen kurzen Überblick, wir können aber nur an der Oberfläche kratzen.

Video: Funktionale Gleichungen (57 min)

groß (3360x1080 mit Folien),     mittel (1920x1080),     klein(853x480),     Folien (PDF)

Nachbereitung: Die Kern-"Message" des ganzen Videos ist, dass Differential- und Integralgleichungen im Kern eigentlich etwas ganz einfaches sind. Schwer ist lediglich, alles präzise zu fassen (mit \(\epsilon,\delta\) und Konvergenzbeweisen) - die Idee als solche ist relativ simpel. Stellen Sie sich daher nochmal die folgenden Fragen:

• Nehmen wir an, wir glauben nicht an kontinuierliche Funktionen. Eigentlich sind alles hochaufgelöste Arrays. Was ist dann eine Differential- oder Integralgleichung eigentlich? Was macht eine allgemeine funktionale Gleichung?
• Bleiben wir bei der Array-Repräsentation. Unsere funktionale Gleichung ist linear. Was für ein Typ von Gleichungen haben wir hier? Wie können wir die (immer, oder besonders einfach/schnell) lösen?
• Ableitungen sind shift-invariante lineare Operatoren (die kontinuierliche Version von Faltungen; sie können sich Arrays vorstellen - dann ist es einfach eine [diskrete] Faltung). Shift-invariante lineare Operatoren lassen sich in der Fourier-Basis diagonalisieren (anders gesagt, die Fourier-Basis-Funktionen sind Eigenfunktionen, die eine Eigenbasis des Operators bilden). Was sind die Eigenwerte der
  • Ersten Ableitung?
  • Zweiten Ableitung?
  • \(n\)-ten Ableitung?
• Wenn das alles so stimmt, wie kann man dann (ganz einfach) lineare Differentialgleichung lösen?

Tipp: (zu den letzten beiden Fragen) Betrachten Sie alles im Komplexen, für Funktionen \[f: [0,1] \rightarrow \mathbb{C}\] und die komplexe Fourierbasis \[b_k(x) = \exp\left( -2\pi i k x \right), \ \ \ \ k=...,-2,-1,0,1,2,...,\ \ \ \ x\in [0,1]\] Tipp 2: Siehe extra-Folien am Ende des PDFs (nicht im Video enthalten).

Gesamtlaufzeit Videos: 57min

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