Modellierung 1

Kapitel 2:

Krumme Sachen im geraden Raum – Herr Taylor verbiegt Objekte

Im zweiten Kapitel geht es um Grundbegriffe aus der Analysis, also vor allem Differentiation und Integration. Hier schauen wir uns insbesondere auch die mehrdimensionalen Varianten davon an, die für die Modellierung halbwegs interessanter Phänomene natürlich ausgesprochen nützlich sind.

Grundbegriffe der Analysis

Im ersten Teil geht es um die Grundbegriffe - dies sollte eine reine Wiederholung von Stoff aus den Grundvorlesungen sein (falls Sie nur Lineare Algebra 1 und Analysis 1 gehört haben, kennen Sie eventuell die mehrdimensionalen Konstrukte noch nicht; da ist aber - soweit wir diese in dieser Vorlesung brauchen - nicht viel dahinter).

Nachbereitung:

• Schauen Sie sich nochmal alle relevanten Begriffen in Ihren Unterlagen aus den Mathematik Grundvorlesungen an.
• Leiten Sie ein Polynom vierten oder fünften Grades mehrmals ab und veranschaulichen Sie sich damit, warum die Formel von Taylor so aussieht, wie sie aussieht.
• Skizzieren Sie nochmal bildlich Beispiele von Funktionen von \(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}\), \(\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2\) und , \(\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2\). Zeichnen Sie in Ihre Skizze eine Veranschaulichung der jeweiligen ersten Ableitungen \(\nabla f\) und der entsprechenden Taylor-Approximation erster Ordnung ein.

Numerische Differentiation und Integration

Als nächstes schauen wir uns an, wie man Integration und Ableitungen von Funktionen numerisch durchführen kann. Dabei interessieren uns (implizit - das Video sagt das nicht explizit so) drei Fälle:

• Wir kennen eine Formel für die Funktion (oder ein Programm, welches die Funktion berechnet), können diese aber nicht symbolisch differenzieren oder ableiten, bzw. sind einfach zu faul dazu.
• Wir haben Messwerte, die eine gedachte Funktion abtasten. Hier ist ein symbolischer Ansatz natürlich unmöglich. Außerdem kann uns noch Rauschen (Ungenauigkeiten in den Daten - wer misst misst Mist) die Tour vermasseln.
• Wir suchen eine Funktion, die wir noch gar nicht kennen (weder gemessen noch symbolisch konstruiert). Um die Funktion zu suchen, müssen wir von einer "Kandidatenfunktion" differentielle Eingenschafte bzw. Integrale auswerten, und dann die Funktion so variieren, dass diese bestimmte Werte oder Eigenschaften haben. Das klassische Beispiel wäre eine Differentialgleichung, die eine Funktion indirekt über Bedingungen an deren Ableitungen spezifiziert. Auch für eine solche numerische Suche brauchen wir Repräsentationen.

Der letzte Aspekt, die Parametrisierung von Funktionenräume aus denen wir noch eine Funktion über lineare Koordinaten aussuchen können, ist wahrscheinlich der interessanteste und liegt dem folgenden Video besonders am Herzen:

Anmerkung: Es kann helfen, vor dem Ansehen des folgenden Videos (Nr. 5) das in das Video Nr. 6 zur Repräsentation von Funktionen reinzuschauen (die ersten 5min) - man kann es nicht perfekt trennen und aufteilen.

Hintergrundmaterialien: Das klassische Beispiel für ein Problem, bei dem extrem hoch-dimensionale Integrationsprobleme ganz einfach durch Monte-Carlo-Integration gelöst werden, ist (aus Perspektive eines Computer-Graphikers) das Distributed Raytracing von [Cook, Porter, Carpenter].

• Leiten Sie ein Schema her, welches aus einem Array von Zahlen die zweite Ableitung schätzt, indem es ein Polynom zweiten Grades an drei aufeinanderfolgende Zahlen legt.
• Leiten Sie ein Schema her, welches aus einem Array von Zahlen das Integral schätzt, indem es quadratische Interpolaten benutzt, um die Genauigkeit zu erhöhen.
• Testen Sie Integrations-Schemata nullter, erster und zweiter Ordnung in Numpy für eine hübsche, glatte Funktion (wie wäre es im einem Array von Werten von "\(\operatorname{sin}(x)\)" für \(x=0..2\pi\)?). Plotten Sie die Werte (bestimmen Sie die Genauigkeit), wenn sich die Diskretisierung verfeinert (kleinerer Samplingabstand \(h\), mehr Einträge im Array).

Gesamtlaufzeit Videos: 79min

Referenzen

[Cook, Porter, Carpenter]

Robert L. Cook, Thomas K. Porter, Loren C. Carpenter: Distributed Ray Tracing. In: ACM Siggraph, 1984.

Hinweis: Klicken Sie auf diesen Link, um auf die Panopto-Seite zu gelangen. Hier finden Sie alle Videos im mp4-Format für alle Geräte.

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