Modellierung 1
Kapitel 1:
Die Geschichte vom Schaf – von den Grundlagen zum linearen Raum
Einleitung
In diesem ersten Kapitel geht es um die Grundbegriffe der Modellierung mit mathematischen und algorithmischen Methoden. Das erste Video erklärt grob, worum es in der Vorlesung geht: Simulation (vom Modell zu Daten) und Inverse Modellierung (von Daten zum Modell).
Nach dem unvermeidlichen Überblick über das, was auf die Teilnehmer/innen zukommt, machen wir einen kleinen Exkurs in die Philosophie. Was sagt eigentlich die Wissenschaftstheorie zum Thema Modellierung? Und warum erscheint die Mathematik manchmal so anders als Physik, und wo passt die Informatik rein?
Weiterführende Links:
- Der im Video angesprochene Vortrag von Richard Dawkins zur Evolution des menschlichen Verständnis: "Why the universe seems so strange" (TED 2005).
- Eine Meinung zur Erkenntnistheorie von David Deutsch: "A new way to explain explanation" (TED 2009). Er erklärt das Problem mit der Mythologie wesentlich besser als das Vorlesungsvideo (die Idee stammt da her).
Nachbereitung: Zur Nachbereitung des Videos lohnt es sich, über einige Fragen nochmal genauer nachzudenken:
- Was ist Ihr Begriff von Wissenschaft und Wahrheit? Wann sind Sie sich hinreichend sicher, dass eine Theorie stimmt? Was unterscheidet für Sie Fakten von Spekulationen und Spekulationen von Unsinn?
- "Das ist wissenschaftlich erwiesen." - Was bedeutet das (für Sie)?
- Wie könnte man die Mathematik selbst formalisieren? Nehmen Sie an, Sie wollen Axiome und Beweise so aufschreiben, dass ein Computer diese verstehen und damit arbeiten könnte (z.B. die Korrektheit eines Beweises überprüfen). Wie könnten Sie dies kodieren? Überlegen Sie sich eine Kodierung.
Bei allen drei Themen lohnt sich auch eine Recherche im Internet.
Lineare Algebra
Wie in der Einleitung (mehr oder weniger spekulativ) motiviert, ist die lineare Algebra (als algebraische und numerische Theorie des Euklidischen Raumes) ungemein praktisch, um allerhand Modellierungsaufgaben zu lösen. Wir wollen daher die Kernkonzepte nochmal wiederholen.
Die folgenden drei Vorlesungsvideos zählen im Wesentlichen Konzepte auf, die Sie aus den Grundvorlesungen der Mathematik schon kennen sollten. Sinn der Sache ist, dass alle nochmal auf den gleichen Stand kommen. Sollte Ihnen etwas unbekannt erscheinen, lohnt sich ein Blick in alte Vorlesungsunterlagen aus den Mathematik-Grundveranstaltungen.
In dieser Arbeit werden 3D Modelle von Gesichtern erstellt. Dabei wird aus Daten "gerlernt", wie ein guter linearer Unterraum aussieht, der Gesichter enthält. Man kann sich das in etwa so vorstellen: Wenn man ein 3D Mesh (Dreiecksnetz) mit 10.000 Eckpunkten nimmt, das ein Gesicht darstellt, so hat dieses (3D) Modell 30.000 Freiheitsgrade - jeder einzelne Punkt kann sich in drei Richtungen bewegen. Nimmt man noch Farben dazu (RGB), so sind es 60.000.
Die Autoren benutzen nun eine statistische Analysemethode, die wir in der Vorlesung noch kennenlernen werden, um einen Unterraum zu finden, der gescannte 3D Gesichter gut approximiert.
Es stellt sich dabei heraus, dass man mit etwa 20 Dimensionen schon fast alle Variationen gut darstellen kann.
Der Unterraum wird dadurch "gelernt", dass man zuerst 170 gescannte Gesichter "in Korrespondenz" setzt, d.h., in den 3D-Meshes erscheint immer der gleiche Eckpunkt auf dem linken Auge, immer der gleiche auf dem rechten, usw. (dazwischen wird glatt interpoliert). Danach bestimmt man die Achsen, in denen die Daten am meisten schwanken. Hier stellt sich heraus, dass dies viel weniger als dreißigtausend sind, nämlich nur ungefähr 20 (zwanzig-komma-null, nicht zwanzigtausend).
Man beobachtet übrigens auch - vielleicht überraschend - dass die Richtung größter Variation das Geschlecht unterscheidet (wenn man die Größe der Gesichter normalisiert, ist dies diejenige Eigenschaft, die die Geometrie am stärksten verändert).
Nachbereitung: Vergewissern Sie sich, dass Sie die folgenden Begriffe aus der Mathematik noch parat haben. Schlagen Sie diese ggf. nach:
- Definition Vektorraum (engl. vector space), Körper (engl. field)
- Rechenregeln für beides
- Reelle und komplexe Zahlen. Warum sind die reellen Zahlen ein eindimensionaler Zahlenstrahl, die komplexen aber nicht - wo sieht man dies in den Axiomen?
- Definitionen Erzeugendensystem (engl. generating set), lineare Hülle (engl. span), Basis (engl. basis),
- Satz über lineare Fortsetzung.
- Jeder \(d\)-dimensionale Vektorraum (endliches \(d\)) über einem Körper \(K\) ist isomorph zu \(K^d\).
Nachbereitung: Vergewissern Sie sich auch hier, dass Sie die Begriffe aus dem Video noch kennen.
Gesamtlaufzeit Videos: 101min
Hinweis: Klicken Sie auf diesen Link, um auf die Panopto-Seite zu gelangen. Hier finden Sie alle Videos im mp4-Format für alle Geräte.
Referenzen
| [Blanz und Vetter 1999] | Volker Blanz, Thomas Vetter: A Morphable Model For The Synthesis Of 3D Faces. In: ACM Siggraph, 1999. |
· · · Letzte Änderung dieser Seite: 14:02 Uhr, 20 July 2020 · · · Datenschutz · · · Impressum · · ·