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Aufgabe Die teuerste Pi-Approximation der Welt

Letzte Änderung: 09. October 2020, 09:29 Uhr
\(5\) Punkte — im Detail
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Startkonfiguration: Wir stellen uns das folgende Szenario vor: Auf einer Ebene befinden sich zwei Objekte an den Positionen \(x_1 = 1/2\) und \(x_2 = 1\) mit den Geschwindigkeiten \(v_1 = 0\) und \(v_2 = 0\) und den Gewichten \(m_1 = 1\) und \(m_2 = 10^{2\cdot k}\) (für variables \(k=0,1,\dots,\)). In unserer Simulation gibt es keine Reibung; die Objekte können, einmal angestoßen ewig auf der x-Achse nach links beziehungsweise rechts gleiten. Wir stoßen nun Objekt 2 nach links hin an und geben ihm also die Geschwindigkeit \(v_2=-1\).

Bemerkung: Die Quelle der Idee ist das Youtube-Video https://www.youtube.com/watch?v=HEfHFsfGXjs. In dem Video ist auch eine sehr schöne Visualisierung zu sehen und eine Erklärung sowie eine detaillierte Herleitung für die Interessierten.

Nun zur Simulation selbst: Die Geschwindigkeit eines Objektes ist die Ableitung dessen Ortes nach der Zeit. Oder mathematisch ausgedrückt: \[ x' = \frac{dx}{t} =: v. \] Dies können wir nicht unendlich genau auflösen (Computer können nur diskrete Zeitschritte darstellen). Aus dem Grund approximieren wir einen Zeitschritt durch \[ x \leftarrow x + v\cdot t, \] das heißt, wir gehen einen infitesimalen Schritt in Richtung der Geschwindigkeit des Objektes. Konkret heißt das, dass sich im ersten Simulationsschritt „Objekt 2“ ein kleines Stück nach links bewegt und „Objekt 1“ gar nicht bewegt.

Das könnte nun iterativ wiederholt werden, bis sich „Objekt 2“ zur Milchstraße (-Infinity) bewegt hat. Aus dem Grund möchten wir nun Kollision zur Simulation hinzunehmen. Wir gehen dabei von einem elastischen Stoß aus. Das bedeutet dass das System durch die Kollision keine Energie verliert, \(\delta E = 0\).

• Kollision zwischen den beiden Objekten: Konkret bedeutet die Energieerhaltung, dass sich für die neuen Geschwindigkeiten nach dem Stoß, \(v_1'\) und \(v_2'\), die kinetische Energie, \[ \frac{1}{2}\cdot m_1 \cdot v_1^2 + \frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot v_2^2 = \frac{1}{2}\cdot m_1 \cdot v_1'^2 + \frac{1}{2}\cdot m_2 \cdot v_2'^2, \] und die innere Energie (der Impuls), \[ m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1' + m_2 \cdot v_2', \] nicht ändern.
  
  Löst man diese beiden Gleichungen nach \(v_1'\) und \(v_2'\) auf erhält man die Lösung: \[ v_1' = \frac{m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot (2\cdot v_2 - v_1)}{m_1 + m_2},\quad v_2' = \frac{m_2 \cdot v_2 + m_1 \cdot (2\cdot v_1 - v_2)}{m_1 + m_2}. \]
• Kollision mit der Wand: Die Simulation mit der Wand ist einfach. Sobald „Objekt 1“ sich links von der Wand (also \(x<0\)) befindet, wechseln wir das Vorzeichen der Geschwindigkeit. Das ist äquivalent zu der Annahme, dass in den oberen Gleichungen \(m_\text{wand} \ggg m_1\).
• Eine genauere Herleitung erhalten Sie unter https://www.leifiphysik.de/mechanik/erhaltungssaetze-und-stoesse/zentraler-elastischer-stoss. (Tatsächlich ist die Herleitung sehr kurz und kann gut selbst berechnet werden).

Wie bestimmen wir nun \(\pi\)?: Wir haben also eine einfache Simulation mit Kollision(zumindest auf dem Papier) gebaut. Das Interessante ist nun, dass wir nun nur noch Zählen müssen wie oft „Objekt 1“ insgesamt (mit der Wand oder mit „Objekt 2“) eine Kollision wiederfährt. Wenn wir nun das Gewicht von „Objekt 2“ folgendermaßen wählen, also \[ m_2 = 10^{2\cdot k}, \quad \text{mit} \quad k = 0, 1, 2, \dots, \] sollten sie an der Anzahl der Kollisionen direkt eine Beziehung zu \(\Pi\) erkennen.

Aufgaben

Ihre Aufgabe ist es nun, diese Simulation zu implementieren. (Keine Angst vor der Komplexität; eine direkte Implementierung „ohne Tricks“ umfasst lediglich rund 30 Zeilen Code.) Dazu gibt es einige Dinge, die Sie beachten können:

• Wir ignorieren, dass die Objekte tatsächlich eine Form haben. Der Einfachheit halber nehmen wir an, dass die Objekte Punkte im Raum sind. (Alternativ können Sie sich vorstellen, dass wir das Ganze von sehr weit weg betrachten und die Objektformen sich dadurch zu Punkten vereinfachen.) Dadurch vereinfacht sich die Kollisionsabfrage zur Frage, ob „Objekt 1“ sich rechts von „Objekt 2“ befindet. (Das sollte nämlich niemals passieren).
• Wann können wir uns sicher sein, dass keine Kollision mehr stattfinden kann? Hinweis: \(|v_1| < v_2\).
• Überraschenderweise ist die Größe des Zeitschrittes \(t\) relativ egal. \(t=0.01\) sollte ausreichen, je nachdem wie Sie dies implementieren, ist \(t=0.25\) auch ok. Was ist mit anderen Werten für \(t\), z.B. \(t=10000\)?
• (Optional) Wenn sie möchten (und zu Debuggingzwecken), visualisieren Sie auf der Konsole wo sich die Objekte befinden. Beim Debugging der Simulation (für kleine \(k\)) kann dies sehr hilfreich sein.\ Beispielhafte Visualisierung für \(k=0\):

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