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Aufgabe Konsequenzen beschränkter Präzision

Letzte Änderung: 16. November 2020, 11:14 Uhr
20 Punkte — im Detail
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Aufgabenteil A:
Aus Python kennen Sie noch den Datentyp int für Ganzzahlen. ints in Python können beliebig viele Stellen haben, was das Rechnen in Python sehr intuitiv macht. Maschinennahe Sprachen wie C++ verwenden stattdessen eine beschränkte Repräsentation für numerische Datentypen. Das bewirkt, dass man den Speicheraufwand von numerischen Daten sehr genau vorhersagen kann, hat aber auch zur Folge, dass sich die meisten Zahlen nicht unmittelbar darstellen lassen.

• Mit dem Befehl sizeof(T) kann man herausfinden, wie viele Bytes ein Wert vom Datentyp T belegt.
  • Wieviele Bytes im Speicher werden durch 128 Zahlen vom Typ uint64_t belegt?
  • Wieviele Bits benötigt man (theoretisch), um einen Wert vom Typ bool zu speichern? Wieviele Bits sind es laut sizeof(bool)?
• In C++ kann man static_cast<T>(x) verwenden, um den Wert x explizit in einen Wert vom Typ T umzuwandeln. Das funktioniert natürlich nicht immer verlustfrei. Finden Sie für die folgenden Konversionen jeweils eine Zahl, die im Eingabedatentyp problemlos repräsentiert werden kann, aber nicht im Zieldatentyp. Testen Sie mithilfe Ihres Compilers für Ihre gewählte Zahl, welches Ergebnis der Cast liefert. Falls keine solche Zahl existiert, begründen sie kurz, warum alle Zahlen verlustfrei übernommen werden können. Geben Sie außerdem Ihre Compilerversion an.
  • Konversion von uint32_t zu uint64_t
  • Konversion von int32_t zu uint64_t
  • Konversion von int32_t zu uint32_t
  • Konversion von int64_t zu uint32_t
  • Konversion von uint32_t zu int32_t
  • Konversion von int32_t zu double
  • Konversion von double zu int32_t
  • Konversion von float zu int32_t

Aufgabenteil B:
Betrachten Sie die folgende Schleife, die einen einfachen Countdown implementiert:

for (uint32_t i = 10; i >= 0; --i) {
    std::cout << i << std::endl;
}

Kompilieren Sie den Code. Verifizieren Sie, dass die Schleife endlos läuft. Erklären Sie, wieso das passiert. Schreiben Sie den Code so um, dass er korrekt funktioniert. Versuchen Sie, eine möglichst nachvollziehbare Lösung zu finden.

Aufgabenteil C:
Auch Fließkommazahlen sind durch beschränkten Speicherplatz eingeschränkt, aber auf eine andere Weise. Die folgende Aufgabe basiert auf der Annahme, dass ihr Compiler Fließkommazahlen nach dem Standard IEEE-754 implementiert, aber alle größeren Compiler tun das eigentlich. Wir wollen jetzt zeigen, dass Fließkommazahlen, die nah an der 0 liegen, mehr Abstufungen zulassen als solche, die weiter von der 0 entfernt sind. Wir können dazu alle verschiedenen Binärdarstellungen von floats aufzählen und die Differenz zur jeweils nächsten Fließkommazahl betrachen:

int main() {
    // ignore this line
    static_assert(sizeof(uint32_t) == sizeof(float), "");
    
    uint32_t lower = 0x00000000u;
    uint32_t upper = 0xFFFFFFFFu;
    // enumerate all 2**32-1 possible states
    for(uint32_t i = lower; i < upper; ++i) {
        // reinterpret storage location as float
        float i_as_float = *reinterpret_cast<float*>(&i);
        uint32_t i_plus_one = i + 1;
        float i_plus_one_as_float = *reinterpret_cast<float*>(&i_plus_one);
        double difference = i_plus_one_as_float - i_as_float;
        std::cout << std::setprecision(20) << "Decimal: " << i << " | Float: " << i_as_float << " | Difference to next float: " << difference << std::endl;
    }
}

1. Kompilieren Sie den Code.
2. Recherchieren Sie oder finden Sie experimentell heraus, welche Bit-Darstellung die 0 kodiert. Ist die Darstellung eindeutig, d.h. kann der Wert 0 auch durch eine andere Bit-Darstellung kodiert werden?
3. Finden Sie jeweils zwei Werte für lower und upper, bei denen man das oben beschriebene Problem gut sehen kann, d.h. für ein Paar sollen die Abstände zwischen mehreren aufeinanderfolgenden Zahlen möglichst groß und für ein anderes möglichst klein sein. Erklären Sie kurz, wie sie die Werte gefunden haben.
4. Fließkommazahlen können außerdem die Werte \(\pm\) inf (Unendlich) und NaN (keine darstellbare Zahl) kodieren. Geben Sie für jeden der drei Werte jeweils eine mögliche Bit-Darstellung und eine Rechnung, die diesen Wert als Ergebnis liefert, an.
5. BONUS: Nach IEEE-754 kodiert ein Teil der 32 Bits in einem float den Exponenten der Fließkommazahl. Finden Sie ein uint32_t x, sodass die floats, die durch x und (x + 1) kodiert werden, unterschiedliche Exponenten haben.